3.ベクトルから関数へ

関数とベクトル
 関数:
 n次元ベクトル:


ベクトル空間から関数空間への拡張の方法
 ベクトル→関数
 和→積分


ベクトルのノルムと距離
 
 →
 (規格化)

 
 →
 (規格化)


関数のノルムと距離
 

 


ベクトルの内積
 
 なら直交


関数の内積
 
 なら直交


ベクトルの相関係数
 


関数の相関係数 


正規直交基
 
 任意のn次元のベクトルは正規直交基で表現できる

 係数の求め方
  


正規直交関数系

 関数族
 
 について考える
 
 区間で直交しているとすると
 
 このとき直交関数系という
  
 さらに,ノルムが1であるとすると
 
 このとき正規直交関数系という
 
 正規直交関数系であるとは,
 
 
 であることをいう

 結局
 
 任意の関数は正規直交関数系で表現できる

 係数の求め方
 


 正規直交関数系の例
 
 区間で正規直交関数系になっているか?

 

 
 
 

 なので、
 
 とすれば,区間で正規直交関数系をなす

 ということは
 任意の関数は三角関数で表現できる?

 もう1つの例
 
 区間で正規直交関数系になっているか?


4.フーリエ級数展開

 
 区間で正規直交関数系をなす

 すると,任意の関数は区間
 この関数系で展開できる
 
 
 このときの係数は
 
 
 
 となる

 一般的には,フーリエ級数展開は
 
 のように表現される


 フーリエ係数と比べると
 
 
 
 となる

 一般的には,フーリエ係数は
 
 
 と表される