7.フーリエ変換

 フーリエ級数展開は,周期信号を表す展開の方法
           ↓
 では,非周期信号や孤立波に対してはどう解析するか
           ↓
 非周期信号は,無限の長さの周期を持つ周期信号
 と考える


 フーリエ級数展開でのスペクトルは離散的
 (線スペクトル)
           ↓
 周期を長くすると,線スペクトルの密度は上がるが
 包絡線の形は変化しない
           ↓
 周期が無限大になると,スペクトルは連続的になる
 (連続スペクトル)


 フーリエ級数展開での周期を無限大にすることで
 フーリエ変換が導かれる
 また,このとき連続スペクトルが得られる


 複素フーリエ級数展開においてとすると
 (は周期信号を示す)
 
 

 ここで,周期を無限大()にすると,
 

 に伴い
   
   (離散→連続)
   (和→積分)
   (周期→非周期)
 という変更を加える


 すると
 
 となり,
 [ ] 内をと書くと
   (式(2.24)と同じ)
  (式(2.25)と同じ)
 という式が得られる

 これは,時間領域でのと周波数領域での
 の関係を示している
 からへの変換をフーリエ変換
 からへの変換をフーリエ逆変換
 という

 は複素フーリエ級数展開における
 フーリエ係数に相当するもので,
 フーリエスペクトルという

 
 と表現したとき
 を振幅スペクトル,
 を位相スペクトル
 という


 表記方法:

 
 

 
 

 

 
 


8.フーリエ変換の性質

 線形性
  とすると
  
  各信号を加えた信号のスペクトルは,
  それらの信号のスペクトルの和となる

  (証明)
  

 推移性
  とする

  ・時間軸上の推移
  を時間軸上のずれとすると
  
  
  波形が移動しても,振幅スペクトルには変化はなく,
  位相スペクトルだけに影響する


  (証明)
  
  ここで,とおくと,であり
  

  ・周波数軸上の推移
  を周波数軸上のずれとすると
  
  スペクトルが移動すると,対応する信号は,
  元の信号を乗じたものになる

  (証明)
  


 相似性
  
  
  のとき,スペクトルは縦軸方向に拡大し,
  横軸方向に縮小する
  のとき,スペクトルは縦軸方向に縮小し,
  横軸方向に拡大する

  (証明)
  
  ここで,とおくと,であり
  とすると
  
  とすると
  
  これらをまとめると
  


 パーセバルの等式
 
  

 時間領域でも周波数領域でもエネルギー
 は等しいことを示す