ディジタル論理(論理回路とブール代数) 定期試験問題集

※解答など問題についての直接的な質問・問い合わせには 一切応じていません.

※レポート提出用との混同をさけるため,以下のうち,レポート対象の年度のPDFは<印刷不可>にしています.
2015年度
2013年度
2012年度
2011年度
2010年度
2009年度 (印刷可)
2008年度 (印刷可)
2007年度 (印刷可)
2006年度 (印刷可)
2004年度 (印刷可)
※2004年度以降はPDFにしています.


2003年度 情報数学II 定期試験問題

注意:先に配布した持ち込み用紙も一緒に提出すること.提出なき場合は採点しない.持ち込み用紙なしで受験する場合は,事前に申し出ること.
また,以下の問題において用いられる記号・用語などの表現は,特に断らない限り,講義において用いたものとする.

1.次の問に答えなさい.
(1) 命題「過去問でしっかり勉強するならば,試験の成績は良い」の否定は,次のうちのどれか,記号で示しなさい.
(a) 過去問でしっかり勉強するならば,試験の成績は悪い.
(b) 過去問でしっかり勉強しないならば,試験の成績は悪い.
(c) 過去問でしっかり勉強しないし,試験の成績は良い.
(d) 過去問でしっかり勉強するが,試験の成績は悪い.

(2) 論理式か真理値表で,(1)の答が正しいことを示しなさい.

2.論理式は同値な関係を用いて標準形に変換することができる.
(1)次の式を積和標準形(加法標準形,選言標準形)に変換しなさい.
 (P⇒Q)⇒(Q⇒R)

(2) 上記の(1)の結果を完全な標準形に変換しなさい.

3.命題論理の推論規則と演繹定理を用いて,
    P⇒(Q⇒R),Q├P⇒R
  であることを証明せよ.

4.集合Aを2項演算+と・,単項演算’,および零元0と単位元1をもつ集合とする.
 aをブール代数(A,+,・,’) の任意の要素であるとするとき,べき等法則
     a・a=a
 を,ブール代数の公理(交換法則,分配法則,同一法則,補元法則)のみを用いて証明しなさい.なお,式の変換に用いた法則を明記すること.

5.xを自然数としたとき,
  ∃xP(x)∧∃xQ(x)は真であるが,
  ∃x[P(x)∧Q(x)]が偽となるような
 述語P(x)とQ(x)の例をあげ,なぜそれぞれ真と偽に
 なるか,簡単に説明しなさい.

6.ファジィ集合の演算においては補元律が成立しないことを適当なメンバーシップ関数を定義し,図示することによって説明しなさい.

(裏面使用不可)

2002年度 情報数学II 定期試験問題

注意:先に配布した持ち込み用紙も一緒に提出すること.提出なき場合は採点しない.持ち込み用紙なしで受験する場合は,事前に申し出ること.
また,以下の問題において用いられる記号・用語などの表現は,特に断らない限り,講義において用いたものとする.

1.次の問に答えなさい.
(1) 命題「お金持ちであり,かつ,ハンサムであれば,美女と結婚できる」の否定は,次のうちのどれか,記号で示しなさい.
(a) お金持ちでないか,あるいは,ハンサムでないならば,美女と結婚できる.
(b) お金持ちでないか,あるいは,ハンサムでないならば,美女と結婚できない.
(c) お金持ちであり,かつ,ハンサムであっても,美女と結婚できない.
(d) お金持ちでなく,かつ,ハンサムでないならば,美女と結婚できない.

(2) 論理式か真理値表で,(1)の答が正しいことを示しなさい.

2.論理式は同値な関係を用いて標準形に変換することができる.
(1)次の式を和積標準形(乗法標準形,連言標準形)に変換しなさい.
 (P⇒Q)⇒(Q⇒R)

(2) 上記の(1)の結果を完全な標準形に変換しなさい.

3.次の命題論理の体系の公理系と推論規則を用いて,
 ├(¬B⇒¬A)⇒(A⇒B)を証明せよ.
 公理1:P⇒(Q⇒P)
 公理2:(P⇒(Q⇒R))⇒((P⇒Q)⇒(P⇒R))
 公理3:(¬P⇒¬Q)⇒((¬P⇒Q)⇒P)
 推論規則:P と P⇒Q からQ を得る.
 ただし,演繹定理より導出した式として,
 (P⇒Q,Q⇒R├P⇒R)を用いること.

4.集合Aを2項演算+と・,単項演算’,および零元0と単位元1をもつ集合とする.
 aをブール代数(A,+,・,’) の任意の要素であるとするとき,回帰法則
     (a’)’=a
 を,ブール代数の公理(交換法則,分配法則,同一法則,補元法則)のみを用いて証明しなさい.
 なお,式の変換に用いた法則を明記すること.

5.以下の2つの命題の意味の違いを説明ししなさい.
  ∀x∃yP(x,y)
  ∃y∀xP(x,y)
 ただし,xとyは、それぞれ、あるクラスの男子学生と女子学生を表す変数とし,P(x,y)は「xとyは恋人同士である」を表すとする.

6.様相論理あるいはファジィ論理のいずれか1つについて,古典論理をどのように拡張したものであるかについて説明せよ.
ただし,様相論理については「可能世界」,ファジィ論理については「多値」という用語を必ず含めて説明すること.

(裏面使用不可)

2001年度 情報数学II 定期試験問題

注意:先に配布した持ち込み用紙も一緒に提出すること.提出なき場合は採点しない.持ち込み用紙なしで受験する場合は,事前に申し出ること.
また,以下の問題において用いられる記号・用語などの表現は,特に断らない限り,講義において用いたものとする.

1.次の命題式の真理値表をかき,恒真性を調べなさい.
  ( P ∨ ¬Q ) ⇒ ( R ∧ P )

 P Q R P∨¬Q R∧P (P∨¬Q)⇒(R∧P)
 T T T
 T T F
 T F T
 T F F
 F T T
 F T F
 F F T
 F F F

2.論理式は同値な関係を用いて標準形に変換することができる.次の式を完全な積和標準形(加法標準形,選言標準形)に変換しなさい.
  Q ⇒ ( P ∨ ¬R )

3.命題論理の推論規則と演繹定理を用いて,
   P⇒(Q⇒R),Q├P⇒R
  であることを証明しなさい.

4.ブール代数の同一法則のうち,公理には含まれていない法則
   a + 1 = 1
  を,ブール代数の公理(交換法則,分配法則,同一法則,補元法則)のみを用いて証明しなさい.
  (公理に含まれている同一法則はa + 0 = a と a ・ 1 = a である.)
  なお,式の変換に用いた法則を明記すること.

5.x を自然数としたとき,
  ∃x P (x ) ∧ ∃x Q (x ) は真であるが,
  ∃x [ P (x ) ∧ Q (x ) ] が偽となるような
  述語 P (x ) と Q (x ) の例をあげ,なぜそれぞれ真と偽になるか,簡単に説明しなさい.

6.ファジィ集合の演算においては補元律が成立しないことを適当なメンバーシップ関数を定義し,図示することによって説明しなさい.

(裏面使用不可)

2000年度 情報数学II 定期試験問題

注意:先に配布した持ち込み用紙も一緒に提出すること.提出なき場合は採点しない.持ち込み用紙なしで受験する場合は,事前に申し出ること.
また,以下の問題において用いられる記号・用語などの表現は,特に断らない限り,講義において用いたものとする.

1.ド・モルガンの法則に関する以下の問に答えなさい.
(1) ¬(P∧Q)=¬P∨¬Q が成り立つことを,
  下の真理値表を完成させることで示しなさい.
(2) ¬(P∧Q)=¬P∨¬Q から
  ¬(P∨Q)=¬P∧¬Q を二重否定の法則を用いて
  導出できることを示しなさい.

2.命題論理の推論規則と演繹定理を用いて,
   P⇒Q,Q⇒R├P⇒R
  であることを証明しなさい.

3.任意のブール式は標準形に変換することができる.
(1) 次の式を加法標準形に変換しなさい.
(a’・b)’・c・((b+c’)’+(a’・c)’)
(2)  (1)の結果を完全な標準形に変換しなさい.

4.次の文章を述語論理の式を用いて表現しなさい.
(1) すべての鳥が飛ぶとは限らない.
 (B(x): xは鳥である,F(x):xは飛ぶ,とする)
(2) 人は誰でも誰かを好きであるが,誰をも好きな者
  はいない.
(H(x):xは人である,L(x,y):xはyを好きである,とする)

5.以下のA,B,いずれか1つを選んで解答しなさい.
A.様相論理の推論規則「Pから□Pを得る」が示していることを「恒真」と「可能世界」という用語を用いて説明しなさい.
B.ファジィ集合の演算においては補元律が成立しないことを適当なメンバーシップ関数を定義し,図示することによって説明しなさい.

(裏面使用不可)

1999年度 情報数学II 定期試験問題

注意:先に配布した持ち込み用紙も一緒に提出すること.提出なき場合は採点しない.持ち込み用紙なしで受験する場合は,事前に申し出ること.
また,以下の問題において用いられる記号・用語などの表現は,特に断らない限り,講義において用いたものとする.

1.連言記号∧と選言記号 ∨は,それぞれ含意記号⇒と否定記号¬のみで表すことができる.
(1)P∨Q=¬P⇒Qを用いて,P∧Qを⇒と¬とで表しなさい.
(2)(1)が正しいことを真理値表を用いて表しなさい.

2.論理式は同値な関係を用いて標準形に変換することができる.
(1)次の式を和積標準形(乗法標準形,連言標準形)に変換しなさい.
 P⇒((Q⇒¬R)∧¬(R⇒¬Q))
(2) (1)の結果を完全な標準形に変換しなさい.

3.次の命題論理の体系の公理系と推論規則および演繹定理を用いて,
├(¬B⇒¬A)⇒(A⇒B)を証明せよ.
公理1:P⇒(Q⇒P)
公理2:(P⇒(Q⇒R))⇒((P⇒Q)⇒(P⇒R))
公理3:(¬P⇒¬Q)⇒((¬P⇒Q)⇒P)
推論規則:P と P⇒Q からQ を得る.
ただし,証明済みの式 P⇒Q,Q⇒R├P⇒R を用いること.

4.集合Aを2項演算+と・,単項演算’,および零元0と単位元1をもつ集合とする.
aをブール代数(A,+,・,’) の任意の要素であるとするとき,べき等法則
     a+a=a
を,分配法則,同一法則,補元法則を用いて証明しなさい.

5.以下の述語論理の式を用いて表現された内容を通常の文章に直しなさい.
  ただし,
    S(x):x は学生である,R(x,y):x は 図書館の本yを読んだ,
  とする.
(1)∃x∀y(S(x)∧R(x,y))
(2)∀x∃y(S(x)∧R(x,y))
(3)¬∀x∀y(S(x)⇒R(x,y))

6.様相論理あるいはファジィ論理のいずれか1つについて,古典論理をどのように拡張したものであ
るかについて説明せよ.ただし,様相論理については「可能世界」,ファジィ論理については「多値」
という用語を必ず含めて説明すること.

(裏面使用不可)

1998年度 情報数学II 定期試験問題

注意:先に配布した持ち込み用紙も一緒に提出すること.提出なき場合は採点しない.持ち込み用紙なしで受験する場合は,事前に申し出ること.
また,以下の問題において用いられる記号・用語などの表現は,特に断らない限り,講義において用いたものとする.

1.次の命題式の真理値表をかき,恒真性を調べなさい.
    (P⇒(Q⇒R))⇒((P⇒Q)⇒(P⇒R))
  ただし,(P⇒(Q⇒R)) と ((P⇒Q)⇒(P⇒R)) の真理値を含んだ表をかくこと.

2.次の論理式を積和標準形(加法標準形,選言標準形)に変換しなさい.
(1)(P⇒¬Q)⇒¬(¬P⇒Q)
(2)(P∨¬Q)∧¬(Q∨R)

3.命題論理の推論規則と演繹定理を用いて,
    P⇒Q,Q⇒R├P⇒R
  であることを証明せよ.

4.ブール代数の吸収法則
     a+(a・b)=a
を,分配法則と同一法則を用いて証明しなさい.ただし,集合Aを2項演算+と・,単項演算’,
および零元0と単位元1をもつ集合とする.

5.xを自然数としたとき,
 ∀x[P(x)∨Q(x)]は真であるが,
 ∀xP(x)∨∀xQ(x)が偽となるような
述語P(x)とQ(x)の例をあげ,なぜそれぞれ真と偽になるか,簡単に説明しなさい.

6.以下のA,B,いずれか1つを選んで解答しなさい.
A.様相論理の推論規則「Pから□Pを得る」が示していることを「恒真」と「可能世界」という
用語を用いて説明しなさい.
B.ファジィ集合の演算においては補元律が成立しないことを適当なメンバーシップ関数を定義し,
図示することによって説明しなさい.

(裏面使用不可)

1997年度 情報数学II 定期試験問題

注意:先に配布した持ち込み用紙も一緒に提出すること.提出なき場合は採点しない.持ち込み用紙なしで受験する場合は,事前に申し出ること.
また,以下の問題において用いられる記号・用語などの表現は,特に断らない限り,講義において用いたものとする.

1.ド・モルガンの法則の2つの式のうちの1つが成り立てば,他の1つは二重否定の法則を用いて
証明できる.このことを
 ¬(A∨B)=¬A∧¬B から
 ¬(A∧B)=¬A∨¬B を
導出することで示しなさい.

2.次の論理式を積和標準形(加法標準形,選言標準形)に変換しなさい.
 (1)(P⇒Q)⇒((Q⇒R)⇒(P⇒R))
 (2)(P∨Q∨¬R)∧(Q∨R)

3.次の命題論理の体系の公理系と推論規則を用いて,├(¬B⇒¬A)⇒(A⇒B)を証明せよ.
 公理1:P⇒(Q⇒P)
 公理2:(P⇒(Q⇒R))⇒((P⇒Q)⇒(P⇒R))
 公理3:(¬P⇒¬Q)⇒((¬P⇒Q)⇒P)
 推論規則:P と P⇒Q からQ を得る.
 ただし,演繹定理より導出した式として,(P⇒Q,Q⇒R├P⇒R)を用いること.

4.次の推論が有効かどうか,文章を論理式で表し,仮定1,仮定2,仮定3の論理積が結論を導出す
るかどうかを調べることにより,判定せよ.すなわち,(仮定1∧仮定2∧仮定3⇒結論)の恒真性を
調べて,判定せよ.
 仮定1:太郎が金持ちなら,花子は結婚しない.
 仮定2:太郎は金持ちでない,または,花子は美人である.
 仮定3:花子は美人である.
 結 論:花子は結婚する.

5.以下の2つの命題の意味の違いを説明し,真か偽かを明らかにしなさい.
  ∀x∃y(x+y≧x+x)
  ∃y∀x(x+y≧x+x)
 ただし,x,yは自然数を表す変数とする.

6.様相論理あるいはファジィ論理のいずれか1つについて,古典論理をどのように拡張したものであ
るかについて説明せよ.ただし,様相論理については「複数の解釈」,ファジィ論理については「多値」
という用語を必ず含めて説明すること.

(裏面使用不可)

1996年度 情報数学II 定期試験問題

注意:先に配布した持ち込み用紙も一緒に提出すること.提出なき場合は採点しない.持ち込み用紙なしで受験する場合は,事前に申し出ること.
また,以下の問題において用いられる記号・用語などの表現は,特に断らない限り,講義において用いたものとする.

1.カードが4枚あり,これらのカードの片面には数字が,もう片面にはアルファベットが書いてあ
るとする.「偶数のカードの裏には,必ず母音が書いてある」という命題の真偽を確かめるためには,
以下に示したカードの場合,少なくともどのカードを裏返してみなければならないか,答えなさい.

   

解答(           )

この種の問題を知っていましたか?(採点の対象外)
(はい いいえ)

2.次の論理式について,真理値表を求めることにより,妥当(恒真),充足可能,充足不能(恒偽)
のいずれであるかを調べなさい.
 (1)(¬P⇒¬Q)⇒(Q⇒P)
 (2)P⇒(P∧¬Q)

3.次の論理式を和積標準形(乗法標準形,連言標準形)に変換しなさい.
 (1)(P⇒Q)⇒(Q⇒R)
 (2)P⇒((Q⇒¬R)∧¬(R⇒¬Q))

4.命題論理の推論規則と演繹定理を用いて,
   P⇒(Q⇒R),Q├P⇒R
  であることを証明しなさい.

5.∀x∃y(x<y)と∃y∀x(x<y)という2つの命題の意味の違いを説明し,真か偽かを
明らかにしなさい.ただし,x,yは自然数を表す変数とする.

6.次の文章を述語論理の式を用いて表現しなさい.
 (1)すべての鳥が飛ぶとは限らない.
   (B(x): xは鳥である,F(x):xは飛ぶ,とする)
 (2)人は誰でも誰かを好きであるが,誰をも好きな者はいない.
   (H(x):xは人である,L(x,y):xはyを好きである,とする)

7.以下のA,B,いずれか1つを選んで解答しなさい.

 A.「信念の論理」におけるBaという記号を様相記号の□と見なし,様相論理の公理M1〜M4に
 当てはめて,それらの公理は採用されるべきかどうか検討しなさい.

 B.ファジィ集合の演算においては補元律が成立しないが,このことを適当なメンバーシップ関数を
 定義し,図示することによって説明しなさい.

(裏面使用不可)

1995年度 情報数学II 定期試験問題

注意:先に配布した持ち込み用紙も一緒に提出すること.提出なき場合は採点しない.持ち込み用紙なしで受験する場合は,事前に申し出ること.
また,以下の問題において用いられる記号・用語などの表現は,特に断らない限り,講義において用いたものとする.


1.次の論理式について,真理値表を求めることにより,妥当(恒真),充足可能,充足不能(恒偽)
のいずれであるかを調べよ.
 (1)P∨¬(P∧Q)
 (2)(P⇒Q)⇒(P∧Q)
 (3)(P∧¬Q)∨¬R

2.次のブール式を簡単にせよ.(標準形に変換するのではない.)
 (1)x・y・z+x’・y・z+x・y’・z+x・y’・z’
 (2)(x・y’+x・y・z’)(x’+z)
 (3)x・y・z+x・y’・z’+x・y’・z+x’・y・z+x’・y・z’

3.命題論理の推論規則と演繹定理を用いて,
   P⇒Q,Q⇒R├P⇒R
  であることを証明せよ.

4.次の推論が有効かどうか,文章を論理式で表し,仮定1,仮定2,仮定3の論理積が結論を導出
するかどうかを調べることにより,判定せよ.すなわち,(仮定1∧仮定2∧仮定3⇒結論)の
恒真性を調べて,判定せよ.
 仮定1:スキーへ行くとレポートが書けない.
 仮定2:スキーへ行かない,または,単位を取る.
 仮定3:単位を取る.
 結 論:レポートを書く.

5.以下の述語論理の式を用いて表現された内容を通常の文章に直しなさい.
  ただし,
   S(x):x は学生である,R(x,y):x は図書館の本y を読んだ,
  とする.
 (1)∀yR(太郎,y)
 (2)∃x∀y(S(x)∧R(x,y))
 (3)∀x∃y(S(x)∧R(x,y))
 (4)¬∀x∀y(S(x)⇒R(x,y))

6.様相論理あるいはファジィ論理のいずれか1つについて,古典論理(命題論理や述語論理)をど
のように拡張したものであるかについて,3行程度で説明せよ.

1994年度 情報数学II 定期試験問題

注意:先に配布した持ち込み用紙も一緒に提出すること.提出なき場合は採点しない.持ち込み用紙なしで受験する場合は,事前に申し出ること.
また,以下の問題において用いられる記号・用語などの表現は,特に断らない限り,講義において用いたものとする.

1.次の論理式について,真理値表を求めることにより,妥当(恒真),充足可能,充足不能(恒偽)
のいずれであるか調べよ.
 (1)(A∨(B∧C))⇒B
 (2)(A∨B)∧¬A∧¬B
 (3)((A⇒B)⇒A)⇒A

2.次の論理式を積和標準形(加法標準形,選言標準形)に変換せよ.
 (1)(A∨B)∧(¬B∨C)
 (2)¬A∨(B⇒¬C)

3.次の命題論理の体系の公理系と推論規則を用いて,├(¬B⇒¬A)⇒(A⇒B) を証明せよ.
 公理1:P⇒(Q⇒P)
 公理2:(P⇒(Q⇒R))⇒((P⇒Q)⇒(P⇒R))
 公理3:(¬P⇒¬Q)⇒((¬P⇒Q)⇒P)
 推論規則:P と P⇒Q からQ を得る.
 ただし,演繹定理より導出した式として,(P⇒Q,Q⇒R├P⇒R)を用いること.

4.次の論法が正しいかどうか,文章を論理式で表し,仮定1と仮定2の論理積が結論を導出するか
どうか調べることにより,判定せよ.すなわち,(仮定1∧仮定2⇒結論)の恒真性を調べよ.
 仮定1:A氏が嘘をいっているか,B氏が4月に香港にいたか,C氏が犯人ではないかのいず
     れかである.
 仮定2:B氏が4月に香港にいなかったならば,A氏が真実をいっているか,またはC氏が犯
     人である.
 結 論:したがって,B氏は4月に香港にいたはずである.

5.次の文章を例にならって述語論理の式を用いて表現せよ.
 (例)人には誰にでも好きな花というのがある.
    A(x):x は人である,B(y):y は花である,C(x,y):x は y を好きである,
    とすると,∀x(A(x)⇒∃y(B(y)∧C(x,y))) と表現される.
 (1)人には必ず親がいるが,自分の親の子供が自分であるとは限らない.
 (2)平面上の2点を結ぶ直線はその平面に含まれる.
 (3)例外のない規則はない.
 (4)(任意の文章1つを限量記号を含んだ述語論理の式で表現せよ.)

6.様相論理あるいはファジィ論理のいずれか1つについて,古典論理(命題論理や述語論理)と比
較して,その特徴を説明せよ.

1993年度 離散数学 定期試験問題

注意:先に配布した持ち込み用紙も一緒に提出すること.提出なき場合は採点しない.持ち込み用紙なしで受験する場合は,事前に申し出ること.
また,以下の問題において用いられる記号・用語などの表現は,特に断らない限り,講義において用いたものとする.

1.次の論理式について,真理値表を求めて,妥当(恒真),充足可能,充足不能(恒偽)を調べよ.
 (1)¬P∨Q
 (2)((P⇒Q)∧P)⇒Q
 (3)P∧¬(¬P⇒Q)

2.次の論理式を和積標準形(乗法標準形)と積和標準形(加法標準形)に変換せよ.
 (1)S⇒((X∧Y)∨Z)
 (2)P(x)⇒(Q(x,y)∧¬(R(x) ∧S(y)))

3.次の命題論理の体系の公理系と推論規則を用いて,P⇒Pが定理であることを証明せよ.
 公理1:P⇒(Q⇒P)
 公理2:(P⇒(Q⇒R))⇒ ((P⇒Q)⇒(P⇒R))
 公理3:(¬P⇒¬Q)⇒(Q⇒P)
 推論規則:PとP⇒QからQを得る.

4.次の例を使って,∀x∃yP(x,y)と∃y∀xP(x,y)の意味の違いを説明せよ.
 (例)S(x):xは生徒である,T(y,x):yはxの先生である,とすると,
    ∀x∃y(S(x)⇒T(y,x))と∃y∀x(S(x) ⇒T(y,x))の意味の違いは?

5.次の文章を例にならって述語論理の式を用いて表現せよ.
 (例)人には誰にでも好きな花というのがある.
    A(x):xは人である,B(y):yは花である,C(x,y):xはyを好きである,
    とすると,∀x(A(x)⇒∃y(B(y)∧C(x,y)))と表現される.
 (1)すべての道はローマに通ず.
 (2)犬も歩けば棒にあたる.
 (3)例外のない規則はない.
 (4)(任意の文章1つを述語論理で表現せよ.)

6.「人間は死ぬ」と「明日,雨が降る」という2つの命題を例にし,様相論理とファジィ論理
について,命題論理や述語論理と比較して説明せよ.